随分と以前に自分のメモとして紙にまとめていたもの。
いつかは電子的に残しておきたいと思っていたので書きます。

さて、地動を受ける1質点系の運動方程式は、

1.png


と現す事がができます。ここに、

2.png











ある時刻 t における応答変位が x(t) であったとします。
すると Δt 秒後の変位は下図の台形を利用して、

3.png

4.png




となります。これを速度の計算にもあてはめると。

5.png




この(3)式に(2)式を代入すると、

6.png







となります。更に展開を進めると、

7.png







ここで第4項の 1/4 を β に置き換えたものを「ニューマークの β 法」と呼びます。
β は加速度変化の仮定をあらわすもので、

β = 0   :衝撃加速度法
   = 1/8:段階加速度法
   = 1/6:線形加速度法
   = 1/4:平均加速度法

としてあらわされます。

ところで(1)式より、

8.png



9.png




が成り立ちます。
(3)(4)(6)式で以下の3つは分かっているもの。

10.png



そして、以下の3つが次に知りたいものです。

11.png


式が3つで未知数が3つだから(3)(4)(6)式を連立方程式と考えて解けば未知数であるところの時刻 t+Δt の加速度、速度、変位が求まります。

あとは気合いの問題なのですが、式の代入まで書いているとわけが分からなくなるので、ここでは端折って、最後に求められる式を記載すると。

12.png






この t+Δt の時の加速度を(3)式に代入して t+Δt の時の速度を求め、次に(4)式から変位を算出すれば OK です。

初期条件として時刻 0 の加速度、速度、変位があれば次々と各時刻の応答が求まるのです。

しかし、(7)式は複雑ですねぇ。

ところがプログラムにするとそうでもないのです。
fortran で書いたサンプルはこんな感じ。

program dof1
implicit real*8(a-h,o-z)
real*8 eq(10000)
tau = 0.02
h = 0.05
w = 100.0
bk = 1000.0
ac = 0.0
ve = 0.0
di = 0.0
write(*,*) 'Number of step'
read(*,*) nstep
read(*,*) (eq(i),i=1,nstep)
e1 = tau / 2.0d0
e2 = e1 * e1
g1 = ve + e1 * ac
g2 = di + tau * ve + e1 * ac
am = w / 980.665d0
cv = 2.0d0 * h * sqrt(am) * sqrt(bk)
do i = 1 , nstep
  r = am + e1 * cv + e2 * bk
  ff = am * eq(i) + g1 * cv + g2 * bk
  ac = -ff / r
  ve = g1 + e1 * ac
  di = g2 + e2 * ac
  g1 = ve + e1 * ac
  g2 = di + tau * ve +e2 * ac
  t = float(i) * tau
  write(*,*) i,t,ac,ve,di
end do
stop
end

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