周波数の測定によく使用されるリサジュー曲線について今回は触れたいと思います。

今までリサージュと呼んでいましたが、考案者であるフランスの物理学者ジュール・アントワーヌ・リサジューの名前に因み命名されたようで、リサジューが原語に近いようですね。なのでタイトルはリサジューとしました。

Wikipedia によれば「リサジュー図形(りさじゅーずけい、Lissajous figure)あるいはリサジュー曲線 (Lissajous curve) とは、互いに直交する二つの単振動を順序対として得られる点の軌跡が描く平面図形のこと。リサジューはリサージュと表記されることもある[1]。それぞれの振動の振幅、振動数、初期位相の違いによって、多様な曲線が描かれる。振動数の比が無理数の場合は閉曲線にはならず、軌道は有限の平行四辺形領域を稠密に埋める。」とされています。

 

FlexPro を使用されている方、あるいは興味を持たれている方の多くはオシロスコープで表示させたことがあることと思います。オーディオ装置に深く凝った経験のある方はオーディオスコープまたはステレオスコープで見られたことがあるかも。また、下のような装置を作って実験をされた方もいらっしゃるかもしれません。

実験装置.jpg

周波数比と位相差が変わると様々な形状を見せます。時に芸術的とも言える様相を見せることもあり、電気通信大学の校章 にも使用されています。

FlexPro を使っていくつかリサジュー図形を描いてみました。FlexPro のシグナル生成機能はダイアログボックスで周波数や位相、波形の種類を簡単に選択、設定することができます。また、X-Y グラフもダイアグラムウィザードでプルダウンメニューから選択するだけなので、今回のような実験 (?) も簡単に行うことができます。

それぞれの図は左クリックすることで大きなサイズで見ることができます。大きすぎる場合は使用されているウェブブラウザの拡大・縮小機能を使用して適当なサイズに変更してご覧ください。

リサジュー.png 

左の一番上は周波数比 1:1 で位相差 0、右の一番上は周波数比 1:1 で位相差 90°、左の上から二番目は周波数比 1:2 で位相差 0、右の上から二番目は周波数比 1:3 で位相差 0°、左の上から三番目は周波数比 1:4 で位相差 0°、右の上から三番目は周波数比 2:3 で位相差 0°、左の一番下は周波数比 5:6 (これが電気通信大学の校章のモチーフです)、右の一番下は周波数 30 のサイン波と周波数 60 の矩形波で作成しました。最後のサイン波と矩形波の組み合わせの図形はヘリングの錯視の図形に似て、上下の平行線が歪んで見えます。

シグナルの組み合わせをいろいろ変えて遊んで、ではなく試行錯誤しているうちにちょっとおもしろい図形ができました。

spin.png

アルキメデスの渦巻。 Cos(Signal) * Sqrt(Signal) と Sin(Signal) * Sqrt(Signal) の組み合わせ。Signal はこの例の場合傾き 10 の直線を描くデータを使用しました。傾きの値を大きくするほど渦の巻き数 (っていうんでしょうか) が増えます。

リチュース.png

リチュース曲線。Cos(Signal) / Sqrt(Signal) と Sin(Signal) / Sqrt(Signal) の組み合わせ。Signal にはこの例の場合傾き 20 の直線を描くデータを使用しました。

flower.png

花。バラ曲線 (正葉曲線) です。この図は花びらが多くバラと言うよりは菊の花のように見えます。

rec_sawtooth.png

矩形波と鋸歯状波の組み合わせ。

jug.png

周波数比 120: 180 で位相差 135° のサイン波の組み合わせ。壺のような図が描けました。

PotatoChip.png

ポテトチップスのようですが色が美味しそうではないですね。3D だから定義からすればリサジュー図形とは言えませんが。

バレンタインデーが近いということでハートを描いてみようと思いましたが、女性の読者の方はあまりいらっしゃらないのではないかと思い今回はやめました (実は関数が思いつかなかっただけだったり)。

ハートとか、他にも面白い、あるいは美しい図形が描けた方、あるいは描き方をご存じの方、コメントででもトラックバックででも教えてください。

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